mercredi 31 octobre 2012
mardi 14 février 2012
Comme promis le corrigé du test. Ne pas imprimer il sera distribué en td.
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jeudi 23 décembre 2010
Bonjour, le blog s'arrête avec la fin du semestre.
Pour les étudiants qui suivent l'option analyse élémentaire l'aventure continu sur le blog analyse1.blogspot.com
Rendez-vous le 13 janvier pour le premier cours.
Bonnes fêtes à toutes et tous.
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Bonnes fêtes à toutes et tous.
mercredi 3 novembre 2010
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Rappel
1. Fonction \(\arctan x\) : La fonction \(\arctan x\) est définie sur \(R \) par :
\( y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y \) et \(y\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).
Propriétés :
\(\arctan x \) est t définie sur R donc \(arctan u \) est définie si et seulement si \(u \) est définie. Autrement \(D_f=D_u. \)
\(\arctan x \) est dérivable sur R donc \(\arctan u \) est dérivable si et seulement si \(u \) est dérivable. Autrement \(D_f^{\prime}=D_u^{\prime} \).
$$( \arctan u(x) )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^2+1}$$
Il est utile de connaitre quelques valeurs particulière de arctan :
Il suffit de dresser un tableau avec des angles \(0\) , \(\frac{\pi}{6}\) , \(\frac{\pi}{4}\) , \(\frac{\pi}{3}\) et de calculer la tangente de ces angles. \(\arctan x\) est obtenu en lisant ce tableau à l'envers.
Exemple : \(\tan {\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) donne \(\arctan {( \frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{\pi}{6}\)
2. Changement de variable
Si\( \varphi : [a,b] \rightarrow J \)est une fonction de classe \(C^1\) et si \(f \)est continue sur \(J\) alors :
$$\int_a^b f(u (x))u^{\prime}(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$
En éspérant que la nouvelle intégrale est plus facile à calculer.
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Rappel
1. Fonction \(\arctan x\) : La fonction \(\arctan x\) est définie sur \(R \) par :
\( y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y \) et \(y\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).
Propriétés :
- \(\arctan x \) est impaire : \(\arctan(-x)=-\arctan x \)
- \( lim_{x\rightarrow +\infty} \arctan x =\frac{\pi}{2} \)
- \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2} \) pour tout \(x\in R \).
\(\arctan x \) est t définie sur R donc \(arctan u \) est définie si et seulement si \(u \) est définie. Autrement \(D_f=D_u. \)
\(\arctan x \) est dérivable sur R donc \(\arctan u \) est dérivable si et seulement si \(u \) est dérivable. Autrement \(D_f^{\prime}=D_u^{\prime} \).
$$( \arctan u(x) )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^2+1}$$
Il est utile de connaitre quelques valeurs particulière de arctan :
Il suffit de dresser un tableau avec des angles \(0\) , \(\frac{\pi}{6}\) , \(\frac{\pi}{4}\) , \(\frac{\pi}{3}\) et de calculer la tangente de ces angles. \(\arctan x\) est obtenu en lisant ce tableau à l'envers.
Exemple : \(\tan {\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) donne \(\arctan {( \frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{\pi}{6}\)
2. Changement de variable
Si\( \varphi : [a,b] \rightarrow J \)est une fonction de classe \(C^1\) et si \(f \)est continue sur \(J\) alors :
$$\int_a^b f(u (x))u^{\prime}(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$
En pratique , pour calculer \(\int_a^b f(\varphi (x)){\varphi}^{\prime}(x)dx\) , on pose \(u=\varphi (x)\) , on différencie : \(du=\varphi^{\prime}(x)dx\) , en calcule \(c=\varphi (a)\) et \(d=\varphi(b) \) et on écrit
$$\int_a^b f(\varphi (x)){\varphi}^{\prime}(x)dx=\int_c^d f(u)du$$En éspérant que la nouvelle intégrale est plus facile à calculer.
samedi 30 octobre 2010
Télécharger la fiche et le corrigé ici
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Résumé :
Résolution de l'équation \(ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=f(t) \) , \(a,b \) et \(c \) sont des nombres réels.
1. - Equation homogène : \(ay^{\prime \prime}+by^{\prime }+cy=0. \)
On forme l'équation caractéristique : \(ar^{2}+br+c = 0 \).
Posons \( \Delta =b^{2}-4ac \). Il y a trois cas :
\(1^{er}\) cas. \(\Delta > 0 \) , l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes \(r_{1} \) \ et \(r_{2} \).Dans ce cas on a : $$y_{h}(t)\ =\ C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$$.
\(2^{eme}\) cas. \(\Delta =0 \) , l'équation caractéristique admet une racine double \(r \). Dans ce cas on a : $$y_{h}(t)\ = (C_{1}+C_{2}t)e^{rt}$$.
\(3^{eme} \) cas. \( \Delta < 0 \) , l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées \(r_{1}=\alpha +i\omega \) et \(r_{2}=\alpha -i\omega \) ; dans ce cas les solutions réelles sont données par : $$y_{h}(t)\ = e^{\alpha t}(C_{1}\cos (\omega t)+C_{2}\sin (\omega t)$$.
\(C_{1} \) et \(C_{2} \)étant des constantes réelles.
2. Recherche d'une solution particulière
1. - Si \(f(t) \) est un polynôme de degré \(n \), il existe une solution particulière sous la forme d'un polynôme \(P(t) \).
2.- Si \(f(t)\ = P(t)e^{\lambda t} \) ( \(\lambda \in C \) ) , on cherche une solution sous la forme \(Q(t).e^{\lambda t} \) .
3. - Si \(f(t)\ =\cos (\omega t) \) , On cherche une solution particulière \(Y_{p} \) à l'équation complexe suivante $$ aY^{\prime \prime }+bY^{\prime }+cY=e^{i\omega t}$$ et on prend \(y_{p}=Re(Y_{p}) \).
La même chose si \(f(t)=\sin (\omega t) \) sauf qu'ici il faut prendre \(Im(Y_{p}) \).
3. Conclusion : les solutions de l'équation $$ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=f(t)$$ sont de la forme \(y=y_{h}+y_{p}. \)
lundi 11 octobre 2010
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Prochain td : changement de variables et fonctions trigonométriques inverses.
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Prochain td : changement de variables et fonctions trigonométriques inverses.
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