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mercredi 29 septembre 2010
lundi 20 septembre 2010
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Résumé :
Rappels :
On appelle racine n-ième d'un nombre complexe \( w \) tout nombre complexe \(z \) tel que \( z^{n}=w. \)
Tout nombre complexe admet \(n \) racines n-ième complexes.
Pratique : comment résoudre \(z^{n}=w. \)
1. On commene par écrire le nombre \(w \) sous forme trigonométrique : \(w=\rho e^{i\alpha }. \)
2. On pose \(z=re^{i\theta } \). L'équation \(z^{n}=w \) est équivalente à \(r^{n}e^{in\theta }=\rho e^{i\alpha }. \)
Ceci donne :
\(r^{n}=\rho \) et \(n\theta =\alpha +2k\pi \) \ avec \(k=0,1,...,n-1 \).
D'où les solutions
\( z_{k}={\rho }^{1/n}.e^{i(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi }{n})} \) , \( k=0,1,...,n-1 \).
Exemple 1 : \( z^{3}=1\) (racines cubique de l'unitée).
Posons \(z=re^{i\theta }\). L'équation \(z^{3}=1\) est équivalente à \(r^{3}e^{i3\theta }=e^{i0}.\)
D'où \(r=1\) \ et \(\theta =\frac{2k\pi }{3}\) avec \(k=0,1,2.\)
Les solutions sont
\(z_{0}=1\) , \(z_{1}=e^{i\frac{2\pi }{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) et \(z_{2}=e^{i\frac{4\pi }{3}}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
Exemple 2 : \(z^{5}=\frac{8(1+i)}{\sqrt{3}-i}.\)
1. On a \(8(1+i)=8\sqrt{2}.e^{i\frac{\pi }{4}}\) et \(\sqrt{3}-i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=2e^{i\frac{\pi }{6}}\) , d'où $$\frac{8(1+i)}{\sqrt{3}-i}=4\sqrt{2}.e^{i\frac{5\pi }{12}}.$$
2 Posons \(z=re^{i\theta }\) l'équation est équivalente à \(r^{5}e^{i5\theta }=4\sqrt{2}.e^{i\frac{5\pi }{12}}.\)
Ceci donne : \(r^{5}=4\sqrt{2}\) et \(5\theta =\frac{5\pi}{12}+2k\pi\) avec \(k=0,1,2,3,4.\)
Ou encore \(r={4\sqrt{2}}^{1/5}=\sqrt{2}\) et \(\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{5}\) \ avec \(k=0,1,2,3,4.\)
3. Conclusion : les solutions sont : \(z_{k}=\sqrt{2}.e^{i(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi }{5})}\) , \(k=0,1,2,3,4.\)
\(z_{0}=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{12}}\) ,
\(z_{1}=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{5})}= \sqrt{2}e^{\frac{29}{60}i\pi }\)
etc ....
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Résumé :
Rappels :
On appelle racine n-ième d'un nombre complexe \( w \) tout nombre complexe \(z \) tel que \( z^{n}=w. \)
Tout nombre complexe admet \(n \) racines n-ième complexes.
Pratique : comment résoudre \(z^{n}=w. \)
1. On commene par écrire le nombre \(w \) sous forme trigonométrique : \(w=\rho e^{i\alpha }. \)
2. On pose \(z=re^{i\theta } \). L'équation \(z^{n}=w \) est équivalente à \(r^{n}e^{in\theta }=\rho e^{i\alpha }. \)
Ceci donne :
\(r^{n}=\rho \) et \(n\theta =\alpha +2k\pi \) \ avec \(k=0,1,...,n-1 \).
D'où les solutions
\( z_{k}={\rho }^{1/n}.e^{i(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi }{n})} \) , \( k=0,1,...,n-1 \).
Exemple 1 : \( z^{3}=1\) (racines cubique de l'unitée).
Posons \(z=re^{i\theta }\). L'équation \(z^{3}=1\) est équivalente à \(r^{3}e^{i3\theta }=e^{i0}.\)
D'où \(r=1\) \ et \(\theta =\frac{2k\pi }{3}\) avec \(k=0,1,2.\)
Les solutions sont
\(z_{0}=1\) , \(z_{1}=e^{i\frac{2\pi }{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) et \(z_{2}=e^{i\frac{4\pi }{3}}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
Exemple 2 : \(z^{5}=\frac{8(1+i)}{\sqrt{3}-i}.\)
1. On a \(8(1+i)=8\sqrt{2}.e^{i\frac{\pi }{4}}\) et \(\sqrt{3}-i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=2e^{i\frac{\pi }{6}}\) , d'où $$\frac{8(1+i)}{\sqrt{3}-i}=4\sqrt{2}.e^{i\frac{5\pi }{12}}.$$
2 Posons \(z=re^{i\theta }\) l'équation est équivalente à \(r^{5}e^{i5\theta }=4\sqrt{2}.e^{i\frac{5\pi }{12}}.\)
Ceci donne : \(r^{5}=4\sqrt{2}\) et \(5\theta =\frac{5\pi}{12}+2k\pi\) avec \(k=0,1,2,3,4.\)
Ou encore \(r={4\sqrt{2}}^{1/5}=\sqrt{2}\) et \(\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{5}\) \ avec \(k=0,1,2,3,4.\)
3. Conclusion : les solutions sont : \(z_{k}=\sqrt{2}.e^{i(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi }{5})}\) , \(k=0,1,2,3,4.\)
\(z_{0}=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{12}}\) ,
\(z_{1}=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{5})}= \sqrt{2}e^{\frac{29}{60}i\pi }\)
etc ....
dimanche 19 septembre 2010
Calculer les racines carrées d'un nombre complexe
Posted by Larbi Belkhchicha
Posted on 12:01
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\(\bullet \) Soit \(a+ib\) un nombre complexe donné. Une racine carrée de \(a+ib\) est un nombre complexe \(z\) tel que \(z^{2}=a+ib.\)
\(\bullet \) Un nombre complexe admet deux racines carrées \(z\) et \(-z.\)
En pratique
1. Forme trigonométrique : si \(a+ib=re^{i\theta }\) alors on peut écrire simplement $$a+ib=\left( \pm \sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}}\right) ^{2}$$ Les racines carrées de \(a+ib\) sont \( z_{1}=\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}\) et \(z_2=-\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}=\sqrt{r}e^{i\left( \pi +\frac{\theta }{2}\right) }\)
Exemple 1 : racines carrées de \(i.\) On a directement \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}=\left( e^{i\frac{\pi }{4}}\right) ^{2}.\) Les racine carrées de \(i\) sont :
2. Forme algébrique : on cherche \(x\) et $y$ tels que \( (x+iy)^{2}=a+ib\) . On a :
Ce qui donne \( x^{2}-y^{2}=a\) et \( 2xy=b\) .
On a aussi \( \left\vert (x+iy)\right\vert ^{2}=\left\vert a+ib\right\vert \)
ce qui est équivalent à \( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\)
Finalement on est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=a\) (1)
\(2xy=b\) (2)
\( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) (3)
Résolution :
\((1)+(3)\) donne \( x^{2}\) ...
\((3)-(1)\) donne \( y^{2}...\)
Une fois toutes les valeurs possibles de \(x\) et \(y\) déterminées , l'équation
(2) permet de donner le signe de \(x\) et \(y\) ( par exemple si \( xy>0\) , \(x\)
et \(y\) doivent être de même signe ....).
Exemple 2 : Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, les racines carrées dans \( \mathbb{C}\) de \( Z=1+i\).
1. \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}=\left( \pm \sqrt{\sqrt{2}} e^{i\frac{\pi }{8}}\right) ^{2}.\) Les racines carrées de \( 1+i\) sont :
\( z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}. e^{i\frac{\pi }{8}}\) et \( z_2=-z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot e^{i(\frac{\pi }{8}+\pi )}\)
2. Recherche des racines carrées de \( 1+i \) \ sous forme algébrique : \ soit \( z=x+iy\) une racine carrée de \( 1+i\) ; \( z\) vérifie
On est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=1\) (1)
\(2xy=1\) (2)
\(x^{2}+y^{2}=\sqrt{2}\) (3)
\((1)+(3)\) donne \(2x^{2}=1+\sqrt{2}\) , d'où \(x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) ou \(x=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\).
\((3)-(1)\) donne \(2y^{2}=-1+\sqrt{2}\) \ \ , d'où \ \ \(y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\) \ ou \(y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.\)
D'après (2) \(xy>0\) donc les racines carrées de \(1+i\) sont
Application : en comparant les deux écritures on peut calculer les valeurs
de \(\cos (\pi /8)\) et de \(\sin (\pi /8)\).
\(\cos \frac{\pi }{8}\in ]0,\frac{\pi }{2}[\) donc \( \cos \frac{\pi }{8}>0\) ,
on a d'après ce qui précède \( \sqrt{\sqrt{2}}\cos \frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) \ , d'où \ \(\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\)
De la même manière on a \( \sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\)
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Résumé :
Rappel :\(\bullet \) Soit \(a+ib\) un nombre complexe donné. Une racine carrée de \(a+ib\) est un nombre complexe \(z\) tel que \(z^{2}=a+ib.\)
\(\bullet \) Un nombre complexe admet deux racines carrées \(z\) et \(-z.\)
En pratique
1. Forme trigonométrique : si \(a+ib=re^{i\theta }\) alors on peut écrire simplement $$a+ib=\left( \pm \sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}}\right) ^{2}$$ Les racines carrées de \(a+ib\) sont \( z_{1}=\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}\) et \(z_2=-\sqrt{r}e^{i\frac{\theta }{2}}=\sqrt{r}e^{i\left( \pi +\frac{\theta }{2}\right) }\)
Exemple 1 : racines carrées de \(i.\) On a directement \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}=\left( e^{i\frac{\pi }{4}}\right) ^{2}.\) Les racine carrées de \(i\) sont :
\( z_{1}=e^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\) et \(z_{2}=-z_{1}\).
2. Forme algébrique : on cherche \(x\) et $y$ tels que \( (x+iy)^{2}=a+ib\) . On a :
\( (x+iy)^{2}=a+ib\) si et seulement si \(x^2- y^2+2ixy=a+ib\)
Ce qui donne \( x^{2}-y^{2}=a\) et \( 2xy=b\) .
On a aussi \( \left\vert (x+iy)\right\vert ^{2}=\left\vert a+ib\right\vert \)
ce qui est équivalent à \( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\)
Finalement on est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=a\) (1)
\(2xy=b\) (2)
\( x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) (3)
Résolution :
\((1)+(3)\) donne \( x^{2}\) ...
\((3)-(1)\) donne \( y^{2}...\)
Une fois toutes les valeurs possibles de \(x\) et \(y\) déterminées , l'équation
(2) permet de donner le signe de \(x\) et \(y\) ( par exemple si \( xy>0\) , \(x\)
et \(y\) doivent être de même signe ....).
Exemple 2 : Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, les racines carrées dans \( \mathbb{C}\) de \( Z=1+i\).
1. \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}=\left( \pm \sqrt{\sqrt{2}} e^{i\frac{\pi }{8}}\right) ^{2}.\) Les racines carrées de \( 1+i\) sont :
\( z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}. e^{i\frac{\pi }{8}}\) et \( z_2=-z_{1}=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot e^{i(\frac{\pi }{8}+\pi )}\)
2. Recherche des racines carrées de \( 1+i \) \ sous forme algébrique : \ soit \( z=x+iy\) une racine carrée de \( 1+i\) ; \( z\) vérifie
\((x+iy)^{2}=1+i\) et \(\left\vert x+iy\right\vert ^{2}=\sqrt{2}\)
On est amené à résoudre le système
\(x^{2}-y^{2}=1\) (1)
\(2xy=1\) (2)
\(x^{2}+y^{2}=\sqrt{2}\) (3)
\((1)+(3)\) donne \(2x^{2}=1+\sqrt{2}\) , d'où \(x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) ou \(x=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\).
\((3)-(1)\) donne \(2y^{2}=-1+\sqrt{2}\) \ \ , d'où \ \ \(y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\) \ ou \(y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.\)
D'après (2) \(xy>0\) donc les racines carrées de \(1+i\) sont
\(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\ \ +i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\) et \(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\ \ -i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\)
Application : en comparant les deux écritures on peut calculer les valeurs
de \(\cos (\pi /8)\) et de \(\sin (\pi /8)\).
\(\cos \frac{\pi }{8}\in ]0,\frac{\pi }{2}[\) donc \( \cos \frac{\pi }{8}>0\) ,
on a d'après ce qui précède \( \sqrt{\sqrt{2}}\cos \frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) \ , d'où \ \(\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\)
De la même manière on a \( \sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\)
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Objectif : mettre un nombre complexe \( z=a+ib\) sous forme trigonométrique \( z=re^{i\theta }.\)
Intetrêt : calculer une puissance de \(z\) , recherche de racines n-iè me ...
Etape 1 : Calculer le module de \(z\) : \(| z | =\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
Ecrire ensuite \(z\) sous la forme $$z=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+i\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right) .$$
Etape 2 : Calculer l'argument de \(z\) : Si \( \theta = arg z\) on a :
$$ \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$ et $$ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
Exemple 1 : on a de manière immédiate \ \(i=e^{i\frac{\pi }{2}},-1=e^{-i\pi },1=e^{i0},-i=e^{i\frac{3\pi }{2}}\)
Exemple 2 : Ecrivons \(1+i\) sous forme trigonométrique. On a :
\(\bullet \) \(| z | =\sqrt{2}\) . On peut donc écrire $$1+i=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$.
\(\bullet \) Si \(\theta =\arg z\) on a : $$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$$ et $$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$$ , d'où $$\arg z=\frac{\pi }{4}$$ (modulo \(2\pi\).
Finalement : \( 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\)
Application :
\[ (1+i)^{2009}=\left( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right) ^{2009}=2^{1004}\cdot \sqrt{2}\cdot e^{i2009\frac{\pi }{4}}=2^{1004}\cdot \sqrt{2}\cdot e^{i502\pi +i\frac{\pi }{4}}\]
D'où
\[ {(1+i)}^{2009}=2^{1004}.\sqrt{2}.e^{\frac{\pi}{4}}=2^{1004}=2^{1004}\left( 1+i\right) \]
Exemple 3 : calculer $$\frac{(1-i)^{5}\,(i-\sqrt{3})^{4}}{(1+i)^{3}}.$$ On a :
\(\bullet \) \(1-i=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4}}\) ; d'où \( (1-i)^{5}=(\sqrt{2})^{5}e^{-i\frac{5\pi }{4}}.\)
\(\bullet \) \((1+i)^{3}=(\sqrt{2})^{3}e^{i\frac{3\pi }{4}}.\)
\(\bullet \) \( i-\sqrt{3}=2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right) =2e^{i\frac{5\pi }{6}}\) , d'où \( (i-\sqrt{3})^{4}=2^{4}e^{i\frac{10\pi }{3}}\)
Finalement
$$\frac{(1-i)^{5}(i-\sqrt{3})^{4}}{(1+i)^{3}}$$ = $$\frac{(\sqrt{2})^{5}e^{-i}\frac{5\pi }{4}}{2^{4}e^{i\frac{10\pi }{3}}}{(\sqrt{2})^{3}e^{i\frac{3\pi }{4}}}$$ =
$$ 2^{5}.e^{i\frac{10\pi}{3}}$$ =
$$2^{5}e^{i\frac{4\pi }{3}}$$ = $$ -16(1+i\sqrt{3})$$.
jeudi 16 septembre 2010
Bonjour et désolé pour ce long silence.
1) Le groupe va s'agrandir, en effet le groupe 1 est supprimé et la moitié de ce groupe ( 10 ou 11 étudiants de l'option math ) vont rejoindre le groupe 2.
2) Comme je l'ai dit en TD vous trouvez dans ce blog des informations sur l'avancement des TD , des documents pédagogiques divers : corrigé d'exos , fiches pratiques ... Tous ces fichiers peuvent être téléchargés sur ma page web personnelle à l'adresse suivante aller à ma page perso.
Vous y trouvez les archives de l'année dernière ( qu'on trouve aussi sur ce blog en cherchant un peu )
3) J'ai créer un petit forum ou vous pouvez poser des questions en cas de besoin. Vous pouvez accéder au nouveau forum en utilisant ce lien : forum maths
Tout le monde peut poser les questions qu'il souhaite mais bien sûre tout le monde peut répondre :-)
Important :
Par contre si vous avez fait des recherches et vous avez besoin d'un avis , il faut m'en parler après le TD pour voir directement avec vous. Ou m'envoyer un mail . Idem pour toutes les questions personnelles.
Bonne rentrée.
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1) Le groupe va s'agrandir, en effet le groupe 1 est supprimé et la moitié de ce groupe ( 10 ou 11 étudiants de l'option math ) vont rejoindre le groupe 2.
2) Comme je l'ai dit en TD vous trouvez dans ce blog des informations sur l'avancement des TD , des documents pédagogiques divers : corrigé d'exos , fiches pratiques ... Tous ces fichiers peuvent être téléchargés sur ma page web personnelle à l'adresse suivante aller à ma page perso.
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- Le forum concerne les questions de mathématiques : exercices , DM ... avec ou sans liens direct avec le cours ou les TD
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- Pour le reste il est préférable de me contacter directement après le TD ou par mail
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