Fonctions arcsinx , arctanx , ....

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Rappel
1. Fonction $\arctan x$  : La fonction $\arctan x$ est définie sur $R$ par :

$y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y$   et   $y\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Propriétés :

1. $\arctan x$ est impaire :  $\arctan(-x)=-\arctan x$
2.  $lim_{x\rightarrow +\infty} \arctan x =\frac{\pi}{2}$
3.  $(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\in R$.

Fonction  f(x)= arctan u(x) :
 $\arctan x$ est t définie sur R donc $arctan u$ est définie si et seulement si  $u$ est définie. Autrement  $D_f=D_u.$

$\arctan x$ est dérivable sur R donc  $\arctan u$ est dérivable si et seulement si  $u$ est dérivable. Autrement  $D_f^{\prime}=D_u^{\prime}$.
$$( \arctan u(x) )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^2+1}$$
Il est utile de connaitre quelques valeurs particulière de arctan :
Il suffit de dresser un tableau avec des angles $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ et de calculer la tangente de ces angles. $\arctan x$ est obtenu en lisant ce tableau à l'envers.
Exemple : $\tan {\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ donne $\arctan {( \frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{\pi}{6}$

2. Changement de variable
Si$\varphi : [a,b] \rightarrow J$est une fonction de classe $C^1$ et si $f$est continue sur $J$ alors :
$$\int_a^b f(u (x))u^{\prime}(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$

En pratique , pour calculer  $\int_a^b f(\varphi (x)){\varphi}^{\prime}(x)dx$ , on  pose $u=\varphi (x)$ , on différencie : $du=\varphi^{\prime}(x)dx$ , en calcule  $c=\varphi (a)$ et $d=\varphi(b)$ et on écrit 

$$\int_a^b f(\varphi (x)){\varphi}^{\prime}(x)dx=\int_c^d f(u)du$$
En éspérant que la nouvelle intégrale est plus facile à calculer.

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