TD2-2 : Equations différentielles de second ordre

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Résumé :

Résolution de l'équation \(ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=f(t) \)  , \(a,b \) et  \(c \) sont des nombres réels.

1. - Equation homogène :  \(ay^{\prime \prime}+by^{\prime }+cy=0. \)

On forme l'équation caractéristique : \(ar^{2}+br+c = 0 \).

Posons \( \Delta =b^{2}-4ac \). Il y a trois cas :

 \(1^{er}\) cas. \(\Delta > 0 \) ,  l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes  \(r_{1} \) \ et  \(r_{2} \).Dans ce cas on a : $$y_{h}(t)\ =\ C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$$.

\(2^{eme}\) cas. \(\Delta =0 \) , l'équation caractéristique admet une racine double  \(r \). Dans ce cas on a :  $$y_{h}(t)\ = (C_{1}+C_{2}t)e^{rt}$$.

\(3^{eme} \) cas. \( \Delta < 0 \) , l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées  \(r_{1}=\alpha +i\omega \)  et  \(r_{2}=\alpha -i\omega \) ; dans ce cas les solutions réelles sont données par : $$y_{h}(t)\ = e^{\alpha t}(C_{1}\cos (\omega t)+C_{2}\sin (\omega t)$$.

\(C_{1} \) et  \(C_{2} \)étant des constantes réelles.

2.  Recherche d'une solution particulière

1. - Si  \(f(t) \) est un polynôme de degré  \(n \), il existe une solution particulière sous la forme d'un polynôme  \(P(t) \).

2.- Si  \(f(t)\ = P(t)e^{\lambda t} \)  (  \(\lambda \in C \) ) , on cherche une solution sous la forme  \(Q(t).e^{\lambda t} \) .

3. - Si  \(f(t)\ =\cos (\omega t) \) , On cherche une solution particulière  \(Y_{p} \) à  l'équation complexe suivante $$ aY^{\prime \prime }+bY^{\prime }+cY=e^{i\omega t}$$   et on prend   \(y_{p}=Re(Y_{p}) \).

La même chose si  \(f(t)=\sin (\omega t) \)  sauf qu'ici il faut prendre  \(Im(Y_{p}) \).

3. Conclusion :  les solutions de l'équation $$ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=f(t)$$ sont de la forme \(y=y_{h}+y_{p}. \)

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