Racines n-ième d'un nombre complexe

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Résumé :

Rappels :

On appelle racine n-ième d'un nombre complexe  \( w \) tout nombre complexe  \(z \) tel que  \( z^{n}=w. \)
Tout nombre complexe admet \(n \) racines n-ième complexes.

Pratique : comment  résoudre  \(z^{n}=w. \)
1. On commene par écrire le nombre  \(w \) sous forme trigonométrique :  \(w=\rho e^{i\alpha }. \)
2. On pose  \(z=re^{i\theta } \). L'équation  \(z^{n}=w \) est équivalente à \(r^{n}e^{in\theta }=\rho e^{i\alpha }. \)
Ceci donne :
  \(r^{n}=\rho \)  et   \(n\theta =\alpha +2k\pi \) \ avec  \(k=0,1,...,n-1 \).

D'où les solutions
\( z_{k}={\rho }^{1/n}.e^{i(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi }{n})} \) ,   \( k=0,1,...,n-1 \).


Exemple 1 : \( z^{3}=1\) (racines cubique de l'unitée).

Posons \(z=re^{i\theta }\). L'équation \(z^{3}=1\) est équivalente à \(r^{3}e^{i3\theta }=e^{i0}.\)

D'où  \(r=1\) \ et \(\theta =\frac{2k\pi }{3}\) avec \(k=0,1,2.\)

Les solutions sont

\(z_{0}=1\)  ,  \(z_{1}=e^{i\frac{2\pi }{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\)   et  \(z_{2}=e^{i\frac{4\pi }{3}}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)

Exemple 2 : \(z^{5}=\frac{8(1+i)}{\sqrt{3}-i}.\)

1. On a \(8(1+i)=8\sqrt{2}.e^{i\frac{\pi }{4}}\)   et  \(\sqrt{3}-i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=2e^{i\frac{\pi }{6}}\)  ,  d'où  $$\frac{8(1+i)}{\sqrt{3}-i}=4\sqrt{2}.e^{i\frac{5\pi }{12}}.$$

2 Posons \(z=re^{i\theta }\) l'équation est équivalente à \(r^{5}e^{i5\theta }=4\sqrt{2}.e^{i\frac{5\pi }{12}}.\)

Ceci donne :  \(r^{5}=4\sqrt{2}\)  et  \(5\theta =\frac{5\pi}{12}+2k\pi\) avec \(k=0,1,2,3,4.\)

Ou encore \(r={4\sqrt{2}}^{1/5}=\sqrt{2}\)  et  \(\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{5}\) \ avec \(k=0,1,2,3,4.\)

3. Conclusion : les solutions sont :  \(z_{k}=\sqrt{2}.e^{i(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi }{5})}\)  ,  \(k=0,1,2,3,4.\)

\(z_{0}=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{12}}\)  ,

\(z_{1}=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{5})}= \sqrt{2}e^{\frac{29}{60}i\pi }\)

etc ....

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